РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 629116 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 392

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества, Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 625x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Решение. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 625x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 625x конец дроби меньше или равно 2. равносильно дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 625x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 625x конец дроби меньше или равно 2. равносильно дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 2.$

Положим, $t = логарифм по основанию 5 x,$ получим:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 4 плюс 4t плюс t в квадрате минус 4 минус t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4, минус 3 меньше или равно t меньше или равно 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 4 плюс 4t плюс t в квадрате минус 4 минус t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате плюс 3t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка t, знаменатель: 4 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4, минус 3 меньше или равно t меньше или равно 0. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, находим:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x меньше минус 4, минус 3 меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

629116

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 625 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка .$