РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел?

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение. а)  Пусть первоначально на доске 11 раз было записано число 19 и один раз число 55. Тогда сумма этих чисел равна 264. После перестановки цифр на доске 11 раз оказалось записано число 91 и один раз число 55. Сумма этих чисел равна 1056  =  4 · 264.

б)  Пусть на доске были написаны двузначные числа $\overlinea_1b_1,\ldots,\overlinea_n b_n.$ Обозначим $A=a_1 плюс \ldots плюс a_n,$ $B=b_1 плюс \ldots плюс b_n.$ По условию, $10A плюс B=264$ и $10B плюс A=3 умножить на 264.$ Тогда разность этих чисел равна $9 левая круглая скобка B минус A правая круглая скобка =2 умножить на 264.$ Но левая часть последнего равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна.

в)  Пусть на доске были написаны двузначные числа $\overlinea_1b_1,\ldots,\overlinea_n b_n.$ Обозначим $A=a_1 плюс \ldots плюс a_n,$ $B=b_1 плюс \ldots плюс b_n.$ По условию $10A плюс B=264,$ и нужно найти наибольшее значение числа $S=10B плюс A.$ Тогда

$S=10B плюс A=10 левая круглая скобка 264 минус 10A правая круглая скобка плюс A=2640 минус 99A.$

Таким образом, необходимо найти наименьшее возможное значение числа A. Поскольку $b_1 меньше или равно 9a_1,\ldots,b_n меньше или равно 9a_n,$ получаем $B меньше или равно 9A.$ Поэтому

$264=10A плюс B меньше или равно 10A плюс 9A=19A,$

следовательно, $A больше или равно дробь: числитель: 264, знаменатель: 19 конец дроби больше 13,$ то есть $A\geqslant14.$ Значит,

$S=2640 минус 99A\leqslant2640 минус 99 умножить на 14=1254.$

Приведём пример, показывающий, что число S действительно может быть равным 1254. Пусть первоначально на доске 13 раз было записано число 19 и один раз число 17. Тогда сумма этих чисел равна 264. После перестановки цифр на доске 13 раз оказалось записано число 91 и один раз число 71. Сумма этих чисел равна 1254.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1254.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в.	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в.	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены.	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	628372	а)  да; б)  нет; в)  1254.

Ключ