PDF-версии: 
Дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM = АС
а) Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС = 4.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения его биссектрис. Следовательно, треугольники АСО и MСО равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, OM = AO = BM. Таким образом, треугольник ВОM является равнобедренным, и углы OBM и BOM равны.
С другой стороны, ВО — биссектриса угла АВС, поэтому углы ABO и OBM равны. Таким образом, углы АВО и ВОM равны, поэтому прямые АВ и ОM параллельны.
б) Четырёхугольник АВMО — равнобедренная трапеция с основаниями АВ и MО, поэтому углы BAO и ABM равны. Отсюда следует, что 
поэтому получаем 
Из треугольника АВС находим, что 
AB = 8. Поскольку 
получаем
В трапеции АВMО проведём высоту ОН. В треугольнике AОН находим, что
Найдём площадь трапеции АВMО:
Ответ: б) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |