РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 628140 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 388

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Составим две последовательности натуральных чисел {a_n} и {b_n}:

a₁  =  1, $a_n= дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби$ (n > 1), где p  — наименьший простой делитель числа n;

b₁  =  1, b_n (n > 1)  — количество таких чисел m, для которых a_m  =  n. Оно показывает, сколько раз число n встречается в последовательности {a_n}.

а)  Найдите b₁₈₇.

б)   Для каких чисел n > 1 и m > 1 выполняется равенство b_n  =  b_m?

в)  Чему равно b_m, если $m=8n в кубе плюс 12n в квадрате минус 2n минус 3$ ?

Решение. а)  Необходимо определить, сколько решений имеет уравнение $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби =187,$ то есть $n=11 умножить на 17 умножить на p,$ где p  — наименьший простой множитель n. Ясно, что $p меньше или равно 11.$ Все числа n вида $11 умножить на 17 умножить на p$ при $p=2,3,5,7,11$ подходят. Следовательно, $b_187=5.$

б)  Пусть $b_m=b_n.$ Необходимо определить количество решений уравнения $x=mp$ и $x=np$ с условием, что p  — минимальный простой делитель. Заметим, что годятся все числа такого вида при $p=2,3,5,\ldots$ до минимального простого делителя m и n включительно. Значит, эти минимальные делители должны совпадать.

в)  Имеем произведение трех последовательных нечетных чисел:

$8n в кубе плюс 12n в квадрате минус 2n минус 3= левая круглая скобка 2n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 2n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка .$ $8n в кубе плюс 12n в квадрате минус 2n минус 3=$
$= левая круглая скобка 2n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4n в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка 2n плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка .$

Одно из них делится на 3. Значит, $дробь: числитель: n, знаменатель: p конец дроби =m$ только для $n=2m$ и $n=3m.$ Поэтому ответ: 2.

Ответ: а)  5; б)  для m и n, у которых совпадает наименьший простой делитель; в)  2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  5; б)  для m и n, у которых совпадает наименьший простой делитель; в)  2.

628140

а)  5; б)  для m и n, у которых совпадает наименьший простой делитель; в)  2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 388

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	628140	а)  5; б)  для m и n, у которых совпадает наименьший простой делитель; в)  2.