РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 627930 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 387

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зеленого, либо красного цвета. Каждое зеленое число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зеленые числа различны и все красные различны; какое‐⁠то зеленое может равняться какому‐⁠то красному числу.

а)  Может ли сумма написанных чисел быть меньше $1395=3 плюс 6 плюс \ldots плюс 90,$ если все числа на доске кратны 3?

б)  Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в)  Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Решение. а)  Да. Пусть на доске зеленым записаны 29 кратных трем чисел от 3 до 90, кроме числа 42, и одно красное число 21. Их сумма равна

$3 плюс 6 плюс \ldots плюс 90 минус 42 плюс 21=1395 минус 42 плюс 21 меньше 1395.$

б)  Нет. Сумма наименьших 29 различных зеленых чисел равна

$3 плюс 6 плюс \ldots плюс 87=1395 минус 90=1305 больше 1067,$

даже без добавления красного числа.

в)  Пусть на доске x красных чисел и 30 − x зеленых. Тогда сумма наименьших красных и наименьших зеленых равна

$7 плюс 14 плюс \ldots плюс 7x плюс 3 плюс 6 плюс \ldots плюс 3 левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 7 плюс 7x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на x плюс дробь: числитель: 3 плюс 90 минус 3x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка =5x в квадрате минус 88x плюс 1395 меньше или равно 1067,$ $7 плюс 14 плюс \ldots плюс 7x плюс 3 плюс 6 плюс \ldots плюс 3 левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 7 плюс 7x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на x плюс дробь: числитель: 3 плюс 90 минус 3x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 30 минус x правая круглая скобка =$
$=5x в квадрате минус 88x плюс 1395 меньше или равно 1067,$

откуда $5x в квадрате минус 88x плюс 328 меньше или равно 0.$ Это неравенство выполнено при $x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 44 минус 2 корень из: начало аргумента: 74 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 44 плюс 2 корень из: начало аргумента: 74 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка ,$ поэтому

$x больше или равно дробь: числитель: 44 минус 2 корень из: начало аргумента: 74 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби больше дробь: числитель: 44 минус 2 умножить на 9, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 26, знаменатель: 5 конец дроби больше 5.$

Таким образом, $x больше или равно 6.$

Взяв зеленые числа $3 плюс 6 плюс \ldots плюс 72=900$ и красные числа $7 плюс 14 плюс \ldots плюс 42=147,$ получаем общую сумму 1047. Теперь заменим 72 на 78 и 42 на 56, отчего сумма вырастет на $6 плюс 14=20$ и станет равна 1067. Окончательно, можно взять 6 красных чисел: 7, 14, 21, 28, 35, 56 и 24 зеленых числа: 3, 6, 9, …, 66, 69, 78, и сумма будет 1067.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  обоснованное решение в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

627930

а)  да; б)  нет; в)  6.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 387

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	627930	а)  да; б)  нет; в)  6.