РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Есть желтые и белые карточки, всего  — 100 штук. На каждой написано натуральное число, среднее арифметическое всех чисел равно 32. Все числа на желтых карточках разные. При этом любое число на желтой карточке больше, чем любое число на белой. Все числа на желтых карточках увеличили в 3 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 94,6.

а)  Может ли быть ровно 70 желтых карточек?

б)  Могут ли все числа на белых карточках быть различными?

в)  Какое наибольшее количество желтых карточек может быть?

Решение. Пусть было x желтых карточек и 100 − x белых. Общая сумма чисел составляла 32 · 100  =  3200. Пусть также сумма чисел на желтых карточках была равна n, тогда сумма на белых была 3200 − n. После увеличения сумма на желтых будет 3n, а общая сумма $3n плюс 3200 минус n=2n плюс 3200.$ По условию, $2n плюс 3200=100 умножить на 94,6=9460,$ откуда $2n=6260,$ $n=3130,$ $3200 минус n=70.$

а)  Наибольшее из чисел на белых карточках не меньше трех (поскольку 30 · 2  =  60 < 70), значит, все числа на желтых карточках не меньше 4. Сумма наименьших семидесяти различных таких чисел равна

$4 плюс 5 плюс \ldots плюс 73=77 умножить на 35=2695 меньше 3130.$

Значит, можно взять 20 белых карточек с двойкой, 10 белых карточек с тройкой, желтые карточки с числами от 5 до 73 и желтую карточку с числом $3130 минус левая круглая скобка 2695 минус 4 правая круглая скобка =439,$ все условия будут выполнены.

б)  В таком случае числа на всех карточках были бы различны (желтые между собой различны по условию, белые по условию п. б), желтые больше белых), но сумма наименьших 100 различных чисел равна

$1 плюс 2 плюс \ldots плюс 100=101 умножить на 50=5050 больше 3200.$

в)  Из п. а) есть пример на 70 желтых (и 30 белых) карточек. Если увеличить число желтых и уменьшить число белых, то условие о том, что все числа на желтых карточках не меньше 4, сохранится. Поскольку

$4 плюс 5 плюс \ldots плюс 78=41 умножить на 75=3075 меньше 3130,$

$4 плюс 5 плюс \ldots плюс 79=3075 плюс 79 больше 3130,$

взять больше чем 75 чисел на желтых карточках нельзя. Пример для 75 строится аналогично п. а). На 20 белых карточках напишем тройку, на 5 двойку, на желтых напишем числа 4, 5, ..., 77 с суммой $3075 минус 78=2997$ и возьмем последним числом $3130 минус 2997=133.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  75.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	627412	а)  да; б)  нет; в)  75.

Ключ