PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 6, на ребре AA1 взята точка M так, что 
На ребре D1C1 взята точка N так, что 
а) Докажите, что прямые MB1 и CN перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки M до прямой CN.
Решение. а) Грани AA1B1B и DD1C1C — параллельны. В грани AA1B1B проведём прямую BN1, параллельную CN. Пусть G — точка пересечения прямых MB1 и BN1, N1B1 = NC1 = MA1, следовательно, треугольники BB1N1 и B1C1M равны. Таким образом,
значит,
то есть 
следовательно, 
б) Пусть MM1 — перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость DD1C1C. Тогда прямые MM1 и AD параллельны, M1C1 и MB1 параллельны. Пусть H — точка пересечения прямых CN и M1C1. По теореме о трёх перпендикулярах прямые MH и CN перпендикулярны, и, следовательно, отрезок MH — искомое расстояние. Имеем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |