РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 624920 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Квадратные и степенные уравнения и неравенства, Логарифмические уравнения и неравенства

Методы алгебры: Возведение в квадрат с учётом ОДЗ, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Другие уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 7 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 9 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 5; 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Первый множитель обращается в нуль, если $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 7 конец аргумента = 1,$ то есть при $x в квадрате плюс 2x минус 7 = 1,$ откуда $x= минус 4$ или $x=2.$ При $x= минус 4$ аргумент логарифма отрицателен, при $x=2$   — положителен. Число −4  — посторонний корень.

Второй множитель обращается в нуль, если $9 плюс 2x минус x в квадрате = 1,$ то есть если $x в квадрате минус 2x минус 8 = 0,$ откуда $x= минус 2$ или $x=4.$ При $x= минус 2$ подкоренное выражение отрицательно, при $x=4$   — положительно. Число −2  — посторонний корень.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 2 и 4.

б)  Расставим корни и концы отрезка в порядке возрастания:

$логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 9=2 меньше 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше 4.$

Значит, подходит только 2.

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2;4 правая фигурная скобка ;$ б) 2.

Примечание.

Чтобы не проверять корни подстановкой, можно было найти область определения уравнения, затем проверить, какие из корней уравнения-следствия лежат в области определения. А именно, уравнение имеет смысл при

$система выражений x в квадрате плюс 2x минус 7 больше или равно 0,9 плюс 2x минус x в квадрате больше 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2x минус 7 больше или равно 0,x в квадрате минус 2x минус 9 меньше 0 конец системы . равносильно 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 меньше x меньше 1 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Перейдем к следствию  — найдем нули множителей:

$совокупность выражений x в квадрате плюс 2x минус 7=1,9 плюс 2x минус x в квадрате =1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 2x минус 8=0,x в квадрате плюс 2x минус 8=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=\pm4,x=\pm2. конец совокупности .$

Из найденных решений в области определения лежат только числа 2 и 4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2;4 правая фигурная скобка ;$ б) 2.

624920

а) $левая фигурная скобка 2;4 правая фигурная скобка ;$ б) 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377

Методы алгебры: Возведение в квадрат с учётом ОДЗ, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624920	а) $левая фигурная скобка 2;4 правая фигурная скобка ;$ б) 2.