PDF-версии: 
Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором 
Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. а) Пусть E — середина стороны CB, F — середина стороны AB. По свойству описанного четырехугольника
то есть
C другой стороны, по теореме косинусов для треугольника ABC получаем, что
Из двух последних равенств находим, что
то есть 
Решая это уравнение как квадратное относительно AB, получаем, что 
или 
В первом случае получаем, что 
тогда 
Во втором случае получаем, что 
тогда 
В обоих случаях треугольник ABC прямоугольный. Что и требовалось доказать.
б) Пусть стороны треугольника ABC равны 3x, 4x и 5x. Он прямоугольный, поэтому его площадь равна 
а с другой стороны, площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, то есть 
Приравнивая эти выражения получаем, что x = 1. Тогда площадь треугольника ABC равна 
Ответ: б) 6.
Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.
По доказанному в пункте а) четырехугольник ACEF является прямоугольной трапецией, тогда возможны два случая. Либо CE = 2r = 2, BC = 2 · CE = 4 и, учитывая соотношение 
получим AC = 3 и AB = 5. Либо AF = 2r = 2, AB = 2 · AF = 4 и, учитывая соотношение 
получим AC = 3 и BC = 5. В любом случае периметр треугольника ABC равен 3 + 4 + 5 = 12, а его площадь 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |