PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB = BC = 6, AA1 = 12 точки M и K — середины AB и BC соответственно,
а) Докажите, что плоскость α проходит через точки A1 и C1.
б) Найдите расстояние между плоскостями KMN и α.
Решение. а) Заметим, что N — середина BB1. Тогда прямые NK, CB1 и DA1 параллельны, прямые NM, AB1 и DC1 также параллельны. Следовательно, плоскости MNK и DA1C1 параллельны, при этом плоскость DA1C1 содержит точку D, а, следовательно, совпадает с плоскостью α.
б) Заметим, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BB1D1D, таким образом, плоскость DA1C1 перпендикулярна плоскости BB1D1D, а также плоскость KMN перпендикулярна плоскости BB1D1D. Пусть L — точка пересечения прямых KM и BD, а точка O1 — прямых
Проведём прямую BP перпендикулярно NL, при этом точка P лежит на прямой DD1, а H и H1 — точки пересечения прямой BP с прямыми NL и DO1 соответственно. Заметим, что треугольники DD1O1, BDH1 и BLH подобны, следовательно,
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |