РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Гипермаркет, реализующий новогодние товары, состоит их трех отделов. В первом отделе представлены новогодние товары, цена каждого из которых меньше 100 руб. Средняя цена товаров в этом отделе равна 90 руб. Во втором отделе представлены новогодние товары, цена каждого из которых больше 100 руб. Средняя цена товаров в этом отделе равна 120 руб. Цена каждого товара в третьем отделе равна 100 руб. Средняя цена всех товаров в гипермаркете равна 110 руб., а общее число товаров равно 200. Все цены выражаются целым числом рублей.

а)  Может ли в первом отделе быть столько же товаров, сколько и во втором?

б)  Может ли в третьем отделе быть на 14 товаров больше чем во втором?

в)   Чему может равняться наибольшая возможная при этих условиях цена товара в этом гипермаркете?

Решение. Пусть в первом отделе x товаров суммарной ценой 90x, во втором y товаров суммарной ценой 120y и в третьем $200 минус x минус y$ товаров суммарной ценой $100 левая круглая скобка 200 минус x минус y правая круглая скобка .$ Суммарная цена всех товаров равна $200 умножить на 110=22000$ рублей. Получаем уравнение:

$90x плюс 120y плюс 100 левая круглая скобка 200 минус x минус y правая круглая скобка =22000 равносильно 90x плюс 120y плюс 20000 минус 100x минус 100y=22000 равносильно$ $90x плюс 120y плюс 100 левая круглая скобка 200 минус x минус y правая круглая скобка =22000 равносильно$
$равносильно 90x плюс 120y плюс 20000 минус 100x минус 100y=22000 равносильно$

$равносильно 20y минус 10x=2000 равносильно 2y минус x=200.$

а)  Если x  =  y, то уравнение примет вид $2x минус x=200 равносильно x=200,$ что невозможно, так как тогда в третьем отделе будет отрицательное количество товаров.

б)  Из уравнения $2y минус x=200$ следует, что $x=2y минус 200.$ Если к тому же $200 минус x минус y=y плюс 14,$ то

$200 минус 2y плюс 200 минус y=y плюс 14 равносильно 4y=386,$

и y  — нецелое.

в)  Ясно, что наибольшая цена будет во втором отделе. Далее, если в нем есть как минимум два товара ценой больше 101 рубля, то можно понизить цену дешевого до 101 руб. и поднять на столько же цену дорогого. Продолжая эти действия, мы только увеличим цену самого дорогого товара. Его итоговая цена будет равна $120y минус 101 левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка =19y плюс 101,$ поэтому выгодно сделать y как можно больше. С другой стороны,

$0 меньше или равно 200 минус x минус y=200 минус 2y плюс 200 минус y=400 минус 3y,$ откуда $y меньше или равно 133.$

Значит, оптимальным вариантом будет взять 133 дорогих товара, из них 132 стоят по 101 рублю, а последний стоит 19 · 133 + 101  =  2628 руб., 66 дешевых (например, все по 90 руб.) и один товар за 100 руб. При этом все условия будут выполнены.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  2628.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624494	а)  нет; б)  нет; в)  2628.

Ключ