PDF-версии: 
Бесконечная последовательность натуральных чисел {an} задана следующим соотношением: a1 = 1, 
а) Делится ли число a2022 на 33?
б) Может ли член этой последовательности an при n > 1 быть точным квадратом?
в) Какие остатки при делении на 7 могут иметь члены этой последовательности?
Решение. Очевидно при получении из числа x числа 10x + 1 мы просто приписываем в конец числа цифру 1, поэтому последовательность имеет вид 1, 11, 111, ...
а) Заметим, что a2022 состоит из 2022 единиц. Значит, во-первых, оно делится на 3, так как сумма его цифр, равная 2022, кратна трем, а во-вторых, — на 11, поскольку суммы цифр и на четных и на нечетных местах равны 1011. Тогда это число делится и
б) Все члены последовательности, кроме первого, дают остаток 3 при делении на 4, поскольку могут быть записаны в виде 
где y — число из n − 2 единиц. Первое слагаемое кратно 4, а второе дает остаток 3. Но квадрат не может давать такого остатка. В самом деле, пусть y2 дает остаток 3 при делении на 4. Очевидно, y нечетно. Тогда
Заметим, 
— произведение двух четных чисел, поэтому кратно 4, а −2 не кратно 4. Итак, 
не кратно 4.
в) Заметим сразу, что 
поэтому можно удалять из начала числа группы по 6 единиц — они все равно не окажут влияния на остаток от деления на 7. При этом
Поэтому все остатки, кроме остатка 3, будут получены уже для первых шести членов, а остаток 3 не будет получен никогда.
Ответ: а) да; б) нет; в) 0, 1, 2, 4, 5, 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |