PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых ровно одно решение (x; y) системы уравнений
удовлетворяет неравенству 
Решение. Заметим, что если для пары чисел 
выполняется условие задачи, то и для пары чисел 
условие будет выполнено, значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие 
Найдём значения параметра a, при которых ровно одно решение уравнения 
удовлетворяет неравенству 
Случай 1. При 
уравнение (⁎) принимает вид
Найденный корень удовлетворяет неравенству
Осталось проверить, есть ли при кроме пары чисел 
другие решения системы. Решим систему при 
Таким образом, при условие задачи выполнено.
Случай 2. При 
рассмотрим квадратичную функцию 
Заметим, что
Тогда, если уравнение 
имеет два корня, то они по модулю либо оба больше 1, либо оба меньше 1. Значит, условие задачи не может быть выполнено. Если уравнение не имеет корней, то условие задачи также не выполняется. Если уравнение имеет один корень, то его дискриминант равен нулю:
При 
единственным корнем уравнения (⁎) является
и условие 
не выполняется.
При 
единственным корнем уравнения (⁎) является
и условие выполняется.
Проверим, есть ли при другие решения системы кроме пары чисел 
Решим систему при 
Если 
то левая часть второго уравнения полученной системы положительна, значит, второе уравнение и вся система не имеют решений. Тогда при система имеет единственное решение 
и условие задачи выполнено.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |