Решите неравенство $|x минус 2| в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка \geqslant1.$

Решение. Найдем ОДЗ неравенства:

$система выражений x плюс 2 больше 0,x больше 0,x не равно 2 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 2,x больше 2. конец совокупности .$

При $x=1$ или при $x=3$ неравенство является верным. Рассмотрим два случая.

1 случай. При $0 меньше x меньше 1$ или при $x больше 3$ получаем:

$система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x больше или равно 0, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x плюс 2 больше или равно x в квадрате , совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно 0 меньше x меньше 1.$ $система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x больше или равно 0, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 2 больше или равно x в квадрате , совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно 0 меньше x меньше 1.$ $система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x больше или равно 0, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 2 больше или равно x в квадрате , совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2, совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,x больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно 0 меньше x меньше 1.$

2 случай. При $1 меньше x меньше 2$ или при $2 меньше x меньше 3$ получаем:

$система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x меньше или равно 0, совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x плюс 2 меньше или равно x в квадрате , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 1,x больше или равно 2 конец системы . , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец совокупности . конец совокупности . равносильно 2 меньше x меньше 3.$ $система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x меньше или равно 0, совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 2 меньше или равно x в квадрате , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 1,x больше или равно 2 конец системы . , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец совокупности . конец совокупности . равносильно 2 меньше x меньше 3.$ $система выражений логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x меньше или равно 0, совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x плюс 2 меньше или равно x в квадрате , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 1,x больше или равно 2 конец системы . , совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,2 меньше x меньше 3 конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2 меньше x меньше 3.$

Объединяя найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

624296

$левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 374

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов