PDF-версии: 
На ребрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.
Решение. а) Параллельные плоскости пересекаются третьей по двум параллельным прямым, следовательно, прямые PM и AQ параллельны, и треугольники ABQ и PCM подобны. Имеем: BQ = 9, PC = 8, тогда
откуда
Таким образом, точка M — середина CC1.
б) Пусть d — расстояние от точки C до плоскости APQ. Тогда объём пирамиды MCPA можно вычислить двумя способами:
откуда 
Далее находим:
Площадь треугольника MPA вычислим по формуле Герона: 
Следовательно,
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B так, как показано на рисунке. Найдем необходимые координаты:
Пусть точка M — середина ребра СС1, тогда 
Составим уравнение плоскости APQ в виде 
Получим уравнение плоскости:
Подставим в полученное уравнение координаты точки M:
откуда следует, что точка M является серединой отрезка CC1.
б) Преобразуем уравнение плоскости APQ, домножив его на 36:
вектор нормали этой плоскости 
Найдём расстояние между точкой C и плоскостью APQ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |