PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S в грани SAB проведена высота SH, а в грани SDE проведена высота SK.
а) Докажите, что прямая CF перпендикулярна плоскости SHK.
б) Найдите угол между прямыми AD и SH, если SA = 25, а AB = 14.
Решение. а) Пусть O — центр основания пирамиды. Прямая SO перпендикулярна плоскости основания, поэтому она перпендикулярна прямой CF. Прямая HK также перпендикулярна прямой CF, по свойству правильного шестиугольника. Поэтому прямая CF перпендикулярна плоскости SHK, содержащей пересекающиеся прямые SO и HK.
б) Через точку H, которая является серединой AB, проведем прямую, параллельную BC. Эта прямая пересекает отрезок DC в точке L, которая является серединой этого отрезка. Угол между прямыми BC и SH равен углу SHL между прямыми HL и SH. По теореме Пифагора в треугольнике SAH находим 
Средняя линия HL трапеции ABCD параллельна её основаниям и равна их полусумме: 
а 
В равнобедренном треугольнике SHL находим 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |