PDF-версии: 
Точки L и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны.
а) Докажите, что LN = KM.
б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.
Решение. а) Заметим, что отрезок KL — средняя линия треугольника ABC, отрезок LM — средняя линия треугольника ВСD. Отсюда следует, что отрезки KL и MN равны и параллельны. Отсюда KLMN — параллелограмм, отрезок MN — средняя линия треугольника ABD, поэтому прямые MN и AB параллельны, прямые AB и CD перпендикулярны, прямые LM и CD параллельны, то есть прямая LM перпендикулярна прямой MN. Следовательно, четырехугольник KLMN — прямоугольник, поэтому его диагонали равны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть боковые стороны трапеции пересекаются в точке E. По свойству медианы прямоугольного треугольника 
Отсюда
Таким образом, площадь прямоугольника KLMN равна 60, а его диагональ равна 13. Тогда по теореме Пифагора получаем, что стороны прямоугольника равны 
Таким образом, высота трапеции равна 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |