РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 624022 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 373

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Возведение в квадрат с учётом ОДЗ, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 4 косинус 2x минус 2 синус 2x конец аргумента =2 косинус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение при условии $косинус x\geqslant0$ :

$корень из: начало аргумента: 4 косинус 2x минус 2 синус 2x конец аргумента =2 косинус x равносильно 4 косинус 2x минус 2 синус 2x=4 косинус в квадрате x равносильно$

$равносильно 4 косинус 2x минус 2 синус 2x=2 косинус 2x плюс 2 равносильно косинус 2x минус синус 2x=1 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби косинус 2x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби синус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно$

$равносильно 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно совокупность выражений 2x=2 Пи k,2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условию $косинус x\geqslant0$ удовлетворяют только $x=2 Пи k,$ $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка ,$ при помощи единичной окружности. Подходят $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 0.

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 0.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

624022

а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 0.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 373

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624022	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ 0.