PDF-версии: 
В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.
б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.
Решение. а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы
Тогда 
Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: 
откуда 
что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.
б) По свойству биссектрисы 
откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:
Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |