PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 3, проведено сечение через вершину B и середины ребер A1D1 и C1D1.
а) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью BCC1.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение куба, а вершиной — точка D.
Решение. а) Пусть M и N — середины C1D1 и A1B1 соответственно. Продлим MN до S — точки пересечения с ребром B1C1. Прямая BS — прямая пересечения плоскости сечения с плоскостью BCC1, P — точка пересечения прямой BS с
Из точки M опустим перпендикуляр на прямую BS, C1 — проекция точки M на плоскость BCC1, следовательно,
Треугольники SC1P и BCP подобны, откуда 
C1P = 1, 
тогда
то есть 
б) Основанием пирамиды является пятиугольник BPMNQ, SBPMNQ = SBPTQ − STMN. Пусть L — точка пересечения MN и BT, прямая MN перпендикулярна плоскости BDT, следовательно, прямая MN перпендикулярна прямой BT. Треугольники PC1M и TD1M равны, далее:
Далее, PM = MT = TN = NQ, следовательно, прямые MN и PQ параллельны, 
Из точки D опустим перпендикуляр на прямую BT. Так как прямая MТ перпендикулярна прямой BDT и прямой DH, отрезок DH перпендикулярен плоскости сечения и является высотой указанной пирамиды. Имеем: 
Теперь найдём объем пирамиды:
Ответ: б) 10,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |