PDF-версии: 
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,
Если угол, вписанный в окружность, прямой, то он опирается на диаметр. Следовательно, отрезок AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.
б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x < y); OK = OL = ON = OM = r. Тогда y = 2x, LN = 2r — высота трапеции, а KM равно среднему гармоническому длин отрезков AD и
Для полноты докажем это утверждение. Отложим на стороне AD отрезок PD = BC, и пусть Q — точка пересечения отрезков BP и KM. Тогда BCDP — параллелограмм, а BP параллельно CD.
Заметим, что 
QM = BC, а KQ находится из подобия треугольников BKQ и BAP:
Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S1. Тогда
а поскольку диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что
Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем другое решение.
Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD.
Пусть BL = x, тогда BC = 2x, AD = 4x.
По свойству касательных BK = BL = CM = CL = 2x, AK = AN = DM = ND = 2x, тогда AB = 3x.
Пусть ∠BAD = α, и пусть h — высота трапеции, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |