РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Вова задумал натуральное число а и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b. Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил ее через с. Оказалось, что среди чисел a, b и с нет одинаковых.

а)  Может ли a + b + c  =  3000?

б)  Может ли a + b + c  =  2000?

в)  Сколько существует четырехзначных чисел а, для которых c  =  4?

Решение. а)  Да. Например, пусть a  =  2974, тогда b  =  22, c  =  4 и 2974 + 22 + 4  =  3000.

б)  Заметим, что числа a, b, c дают одинаковые остатки от деления на 3, поэтому их сумма должна делиться на 3, что не выполнено для числа 2000.

в)  Заметим, что сумма цифр четырехзначного числа не превосходит 4 × 9  =  36. Значит, b  =  13, 22, 31. Все такие числа дают остаток 4 при делении на 9 и наоборот: если число дает остаток 4 при делении на 9, то для него c  =  4 и b  =  4, 13, 22, 31. Всего есть 9000 четырехзначных чисел, среди которых ровно 1000 имеют заданный остаток. Осталось только вычислить, сколько из них дают b  =  4 и их отбросить.

Рассмотрим все наборы из 4 цифр с суммой 4: 4000  — одно число; 3100  — шесть чисел (двумя способами выбираем первую цифру, потом тремя способами выбираем, куда поставить вторую ненулевую); 2200  — три числа (первая цифра точно двойка и дальше есть три варианта для второй двойки); 2110  — девять чисел (если на первом месте 1, то дальше есть 6 перестановок цифр 0, 1, 2. Если на первом месте 2, то дальше есть три варианта, куда поставить 0 и этим число полностью определится); 1111  — одно число. Поэтому ответ:

1000 − (1 + 6 + 3 + 9 + 1)  =  1000 − 20  =  980.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  980.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а  — г.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	621231	а)  да; б)  нет; в)  980.

Ключ