PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Прямые B1C1 и BC пересекаются в точке P.
а) Докажите, что треугольники PBC1 и PB1C подобны.
б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB1, ∠ABC = 80°, 
а точка B лежит между C и P.
Решение. а) Точки B, C, B1, C1 лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB1 и BC1B1 равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC1B и PCB1. А тогда треугольники PC1B и PCB1 подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.
б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB1 равнобедренный, поэтому углы BPB1 и BB1P равны. А углы HB1C1 и HAC1 опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен 
Теперь получаем, что угол PBB1 равен 
Угол ABB1 же тогда равен 
откуда 
Заметим теперь, что
поэтому треугольники AB1C1 и ABC подобны с коэффициентом 
Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 
Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому 
Отсюда AH = 6.
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |