PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые ребра равны 6. Точка M — середина ребра CC1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) Докажите, что плоскость AMN делит ребро DD1 в отношении 1 : 5, считая от точки D.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
Решение. а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD1. Заметим, что прямые AK и MN параллельны, прямые KM и AN параллельны. Проведём прямую NN1 параллельно прямым BC и AD. Тогда углы KAD и MNN1 равны, и треугольники AKD и NMN1 равны. Далее имеем:
следовательно, DK : KD1 = 1 : 5.
б) Продлим прямую MN до пересечения с прямой BC. Пусть E — точка их пересечения. Так как E лежит на обеих этих прямых, она лежит на прямой пересечения плоскостей ABC и AMN, следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой AE. Из точки N на прямую AE опустим перпендикуляр BH. По теореме о трёх перпендикулярах его проекция BH также перпендикулярна AE. Таким образом, угол NHB — линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и AMN.
Имеем: 
тогда
Далее, EB = 8, 
тогда 
Ответ: б) 
Приведем решение Ирины Шраго координатным методом.
а) Введем систему координат с началом в точке A, направив ось абсцисс вдоль прямой AB, ось ординат вдоль прямой AD и ось аппликат вдоль прямой AA1.
Тогда точка M имеет координаты (4; 0; 2), точка N имеет координаты (4; 4;3).
Получим уравнение плоскости AMN: 2x + y − 4z = 0.
Точка K, делящая ребро DD1 в отношении 1:5, считая от вершины D, имеет координаты (0; 4; 1). Эти координаты удовлетворяют уравнению плоскости AMN, следовательно, эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке K.
б) Плоскость основания имеет уравнение z = 0, то есть вектор еë нормали имеет координаты {0; 0; 1}
Тогда косинус угла между плоскостями
Следовательно, угол между плоскостями равен 
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в том, что 
и 
представляют один и тот же угол.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |