Ре­ше­ние. Будем счи­тать все массы в де­ся­тых ча­стях ки­ло­грам­ма. Тогда слит­ки весят 111 и 133 таких еди­ни­цы. Пусть пер­вых слит­ков при­вез­ли x, а вто­рых y.

а)  По­лу­ча­ем урав­не­ние 111x + 133y  =  3630. По­сколь­ку 111 и 3630 де­лят­ся на 3, то и 133y  =  3630 − 111x де­лит­ся на 3, от­ку­да y де­лит­ся на 3. Пусть y  =  3t, тогда урав­не­ние при­мет вид

За­ме­тим, что

Зна­чит, x − t крат­но 10 и 121 − 16t крат­но 37. Далее, от­ку­да Итак, t ⩽ 9. Вы­чис­ляя 121 − 16t по­лу­чим числа 121, 105, 89, 73, 57, 41, 25, 9, −7, −23, ни одно из ко­то­рых не крат­но 37.

б)  Не­труд­но убе­дить­ся, что

Найти этот ва­ри­ант можно, пе­ре­би­рая числа 3640, 3640 − 133, 3640 − 133 · 2, ..., в по­ис­ках числа, крат­но­го 111.

в)  Нам нужно найти такие x и y, чтобы вы­ра­же­ние 111x + 133y было как можно боль­ше, но мень­ше чем 3630. Иными сло­ва­ми, вы­ра­же­ние 3630 − 133y − 111x долж­но быть по­ло­жи­тель­ным, но как можно мень­шим. Вы­пи­шем числа, крат­ные 133 и не пре­вос­хо­дя­щие 3630. Это будут 133, 266, 399, 532, 665, 798, 931, 1064, 1197, 1330, 1463, 1596, 1729, 1862, 1995, 2128, 2261, 2394, 2527, 2660, 2793, 2926, 3059, 3192, 3325, 3458, 3591.

Если вы­честь их из 3630, по­лу­чат­ся числа 3497, 3364, 3231, 3098, 2965, 2832, 2699, 2566, 2433, 2300, 2167, 2034, 1901, 1768, 1635, 1502, 1369, 1236, 1103, 970, 837, 704, 571, 438, 305, 172, 39.

Для каж­до­го из них за­пи­шем оста­ток от де­ле­ния на 111  — это и будет ми­ни­маль­ное число, ко­то­рое можно по­лу­чить для каж­до­го кон­крет­но­го y: 56, 34, 12, 101, 79, 57, 35, 13, 102, 80, 58, 36, 14, 103, 81, 59, 37, 15, 104, 82, 60, 38, 16, 105, 83, 61, 39. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное зна­че­ние S равно 3630 − 12  =  3618 еди­ниц и до­сти­га­ет­ся для при­ме­ра 3618  =  3 · 133 + 29 · 111.

Ответ: а) нет; б) да; в) S  =  361,8 кг.