PDF-версии: 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части.
а) Докажите, что BC : CA : AB = 5 : 10 : 13.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если BM = 12.
Решение. а) Пусть прямая BM пересекает вписанную окружность в точках N, O, а точки касания окружности и сторон треугольника AB, BC, AC — это точки R, P, S соответственно. Пусть еще BN = NO = OM = x. Тогда по теореме о квадрате касательной получаем, что
откуда 
Обозначим длину отрезка PC за y. Получаем, что
Запишем теперь формулу для длины медианы:
Получаем:
Тогда
Что и требовалось доказать.
б) Из условия следует, что x = 4, значит, 
Тогда полупериметр треугольника ABC равен
По формуле Герона получаем площадь треугольника ABC:
Выражая площадь по-другому, получим:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |