PDF-версии: 
В правильном тетраэдре SABC точка M — середина ребра AB, а точка N расположена на ребре SC так, что SN : NC = 3 : 1.
а) Докажите, что плоскости SMC и ANB перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка MN, если длина ребра AB равна 8.
Решение. а) Заметим, что прямая AB перпендикулярна плоскости SMC (поскольку прямая SM перпендикулярна прямой AB и прямая CM перпендикулярна прямой AB). Плоскость ANB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SMC, следовательно, плоскость ANB перпендикулярна плоскости SMC.
б) Рассмотрим равнобедренный треугольник SMC. В нём 
SC = 8, откуда 
Заметим, что NC = 2. По теореме косинусов для треугольника MNC:
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |