РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Напомним, что произведение натуральных чисел $1 умножить на 2 умножить на \ldots умножить на n$ обозначается n! (например, $1!=1,$ $3! = 1 умножить на 2 умножить на 3$ ). Определите наибольшее возможное n в следующих случаях:

а)   $дробь: числитель: n!, знаменатель: 8 конец дроби$ не является натуральным числом.

б)  (n + 2)! − 42(n!) < 0.

в)  (n!)² − 12n! не делится на 13.

Решение. а)  Числа 1!  =  1, 2!  =  2 и 3!  =  6 не делятся на 8 нацело. При больших n в произведении будут множители 2 и 4, поэтому оно будет делится на 8 без остатка. Значит, наибольшее подходящее значение n  =  3.

б)  Поскольку $левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка ! = n! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка ,$ в левой части неравенства получаем:

$n! левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка минус 42n! = n! левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка минус 42 правая круглая скобка .$

Это произведение отрицательно, когда второй множитель отрицателен. Заметим, что при всех $n меньше или равно 4$ неравенство $левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка меньше 42$ верно, а при всех $n больше или равно 5$   — ложно, поскольку первый множитель не меньше 6, а второй не меньше 7. Следовательно, наибольшим натуральным решением неравенства является n  =  4.

в)  Разложим левую часть на множители, получим $n! левая круглая скобка n! минус 12 правая круглая скобка .$ Заметим, что при $n больше или равно 13$ первый множитель, а с ним и все произведение, кратны 13. Пусть n  =  12, покажем, что второй множитель 12! – 12 = 12(11! – 1) делится на 13. Действительно,

11! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · (13 – 6)(13 – 5)(13 – 4)(13 – 3)(13 – 2) = 720 · (13m − 720) =

= (13p + 5) · (13m − 720) = 13q − 720 · 5 = 13q − 3600,

где числа m, p, q  — натуральные. Следовательно, 11! − 1 = 13q − 3601. Полученная разность делится на 13, поскольку уменьшаемое и вычитаемое делятся на 13. Если же $n = 11,$ то разность $11! минус 11$ не делится на 13. Действительно,

11! − 11 = 13q − 3611,

а эта разность не делится на 13, поскольку уменьшаемое кратно 13, а вычитаемое  — нет.

Ответ: а)  3; б)  4; в)  11.

Замечание. Для знакомых с арифметикой остатков можно провести более легкое рассуждение о делимости 11! – 1 на 13.

Заметим, что

$1!\equiv 1 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$2!\equiv 2 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$3!\equiv 6 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$4!\equiv 24 \equiv 11 \equiv минус 2 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$5!\equiv минус 10 \equiv 3 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$6!\equiv 18 \equiv 5 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$7!\equiv 35 \equiv 9 \equiv минус 4 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$8!\equiv минус 32 \equiv минус 6 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$9!\equiv минус 54 \equiv минус 2 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$10!\equiv минус 20 \equiv минус 7 \equiv 6 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$11!\equiv 66 \equiv 1 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ;$

$11! минус 1\equiv 0.$

Таким образом, 11! – 1 делится на 13. Отсюда же следует, что $11! минус 11\equiv минус 10 \equiv 3 левая круглая скобка 13 правая круглая скобка ,$ то есть на 13 не делится.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562819	а)  3; б)  4; в)  11.

Ключ