Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим a₁  =  a, тогда a₂  =  a + 4 и a₃  =  a + 4 + 16  =  a + 20. И то и дру­гое будет про­стым чис­лом, на­при­мер, при a  =  9.

б)  Имеем:

при­чем a_n про­стое и боль­ше двух (по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет и a₁ > 4), по­это­му a_n не­чет­но. Зна­чит, 2a_n не крат­но 4, а по­то­му и 2aⁿ + 4n² не крат­но 4.

в)  До­пу­стим, что a_n, a_n + 1, a_n + 2, a_n + 3  — про­стые. Тогда они все не крат­ны 3 (они все боль­ше 4). Но квад­рат при де­ле­нии на 3 дает либо оста­ток 0 (у чисел, крат­ных 3), либо оста­ток 1 (у осталь­ных чисел). Зна­чит, среди n², (n + 1)², (n + 2)² будет ровно одно число с остат­ком 0 и два числа с остат­ком 1. Каким бы ни был оста­ток у a_n, одно из по­лу­ча­е­мых чисел будет крат­но трем.

С дру­гой сто­ро­ны, в по­сле­до­ва­тель­но­сти 27, 31, 47, 83, ... есть три про­стых числа под­ряд.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3.