РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к сумме на счёте прибавляется 10% от находящейся на нём суммы; 2) к сумме на счёте прибавляется 5% от находящейся на нём суммы и 50 тысяч рублей. Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить 417 967 рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счёт Иван?

Решение. Отметим, что если в конце года перед начислением процентов на вкладе лежит сумма S руб., то по первой схеме ко вкладу будет причислено 0,1S руб., а при второй  — 0,05S + 50 000 руб. Первая схема более выгодна, если $0,1S больше 0,05S плюс 50 000,$ то есть если S больше 1 млн руб.

Решим задачу полным перебором. Пусть вторая схема никогда не применялась: тогда на вклад изначально была положена сумма S₀, не меньшая 1 млн руб., и ежегодно начислялось по 10%. В этом случае через четыре года на вкладе было $1,1 в степени 4 S_0$ руб., а доход составил

$1,1 в степени 4 S_0 минус S_0 = 1,4641 S_0 – S_0 = 0,4641 S_0 больше 464 100 больше 417 967 руб.,$

что противоречит условию задачи.

Пусть изначально на вкладе было менее 1 млн руб., вторая схема применялась лишь в первый год, затем сумма превысила 1 млн руб., и остальные три года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил

$S_1 = левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 в кубе минус S_0 = 1,3975 S_0 плюс 66 500 минус S_0 = 0,3975 S_0 плюс 66 500 руб.$ $S_1 = левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 в кубе минус S_0 =$
$= 1,3975 S_0 плюс 66 500 минус S_0 = 0,3975 S_0 плюс 66 500 руб.$

Решая уравнение $S_1 = 417 967,$ находим $S_0 = 884 193,71 \ldots руб.$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.

Пусть вторая схема применялась первые два года, затем сумма превысила 1 млн руб., и оставшиеся два года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил

$S_2 = левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 в квадрате минус S_0 =$
$= 1,334025 S_0 плюс 124 025 минус S_0 = 0,334025 S_0 плюс 124 025 руб.$ $S_2 = левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 в квадрате минус S_0 =$
$= 1,334025 S_0 плюс 124 025 минус S_0 =$
$= 0,334025 S_0 плюс 124 025 руб.$

Решая уравнение $S_2 = 417 967,$ находим $S_0 = 880 тыс. руб.$ Такую сумму положить на вклад можно. Через год она достигнет величины 974 тыс. руб., то есть еще не превзойдет 1 млн руб., а через два года, очевидно, превзойдет 1 млн руб., что повлечет применение первой схемы начисления дохода. Таким образом, для вклада 880 тыс. руб. все условия выполнены.

Пусть вторая схема применялась первые три года, затем сумма превысила 1 млн руб., и в последний год применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил

$S_3 = левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 минус S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 плюс 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 плюс 173 387,5 руб.$ $S_3 =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 минус S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 плюс 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 плюс 173 387,5 руб.$ $S_3 =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,1 минус S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 плюс 173 387,5 – S_0 =$
$= 0,2733875 S_0 плюс 173 387,5 руб.$

Решая уравнение $S_3 = 417 967,$ находим $S_0 = 894 625,76 \ldotsруб.$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.

Наконец, пусть вторая схема применялась все четыре года. Тогда через 4 года доход составил

$S_4 = левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 минус S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 плюс 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 плюс 215 506,25 руб.$ $S_4 =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 минус S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 плюс 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 плюс 215 506,25 руб.$ $S_4 =$
$= левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1,05S_0 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 правая круглая скобка умножить на 1,05 плюс 50 000 минус S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 плюс 215 506,25 – S_0 =$
$= 0,215506 25 S_0 плюс 215 506,25 руб.$

Решая уравнение $S_4 = 417 967,$ находим $S_0 = 939 465,79 \ldots руб.$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.

Ответ: 880 000.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562697	880 000.

Ключ