PDF-версии: 
Точка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны.
а) Докажите, что BK = 2AK.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 1.
Решение. а) Плоскости α и SAD параллельны, поэтому сечение будет образовано прямыми, параллельными рёбрам AD, SA и SB. Пусть прямые KN и SA параллельны, прямые KL, NM и AD параллельны, прямые ML и SD параллельны. В силу указанной параллельности треугольники BKN и CLM равны и подобны равным треугольникам SAB и SCD. Положим длину ребра пирамиды равной a и пусть
Тогда 
В четырёхугольник KLMN можно вписать окружность, поэтому
б) Пусть P и Q — середины рёбер AD и BC соответственно. Рассмотрим сечение SPQ, оно будет пересекать плоскость α по отрезку RT, параллельному SP, где R и T — середины отрезков KL и MN соответственно. Из точки Q опустим перпендикуляр QG на SP, точку пересечения QG и RT обозначим H. Заметим, что прямая AD перпендикулярна плоскости SPQ, следовательно, прямая QG перпендикулярна прямой AD и, значит, прямая QG перпендикулярна плоскостям SAD и α. Так как S лежит в плоскости SAD, параллельной плоскости α, то расстояние от неё до плоскости α равно расстоянию между этими плоскостями, которое равно, например, GH. Имеем 
откуда
Из п. а) следует, что треугольники QTR и SPQ подобны, при этом 
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |