Ре­ше­ние. а)  Плос­ко­сти α и SAD па­рал­лель­ны, по­это­му се­че­ние будет об­ра­зо­ва­но пря­мы­ми, па­рал­лель­ны­ми рёбрам AD, SA и SB. Пусть пря­мые KN и SA па­рал­лель­ны, пря­мые KL, NM и AD па­рал­лель­ны, пря­мые ML и SD па­рал­лель­ны. В силу ука­зан­ной па­рал­лель­но­сти тре­уголь­ни­ки BKN и CLM равны и по­доб­ны рав­ным тре­уголь­ни­кам SAB и SCD. По­ло­жим длину ребра пи­ра­ми­ды рав­ной a и пусть Тогда В четырёхуголь­ник KLMN можно впи­сать окруж­ность, по­это­му

б)  Пусть P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и BC со­от­вет­ствен­но. Рас­смот­рим се­че­ние SPQ, оно будет пе­ре­се­кать плос­кость α по от­рез­ку RT, па­рал­лель­но­му SP, где R и T  — се­ре­ди­ны от­рез­ков KL и MN со­от­вет­ствен­но. Из точки Q опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QG на SP, точку пе­ре­се­че­ния QG и RT обо­зна­чим H. За­ме­тим, что пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SPQ, сле­до­ва­тель­но, пря­мая QG пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD и, зна­чит, пря­мая QG пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­стям SAD и α. Так как S лежит в плос­ко­сти SAD, па­рал­лель­ной плос­ко­сти α, то рас­сто­я­ние от неё до плос­ко­сти α равно рас­сто­я­нию между этими плос­ко­стя­ми, ко­то­рое равно, на­при­мер, GH. Имеем от­ку­да

Из п. а) сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки QTR и SPQ по­доб­ны, при этом от­ку­да

Ответ: б)