РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 562003 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 350

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\left| логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента плюс 2|\geqslant минус 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 6 конец аргумента .$

Решение. Преобразуем неравенство:

$\left| логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 4 конец аргумента плюс 2|\geqslant минус 3 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени 6 конец аргумента равносильно$
$равносильно \left|2 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2| плюс 2|\geqslant минус 3 минус 3 логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2|.$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2|=t,$ тогда

Заметим, что при $t плюс 1\geqslant0$ неравенство выполняется, а при $t плюс 1 меньше 0$ не выполняется. Значит, $t\geqslant минус 1.$

Вернёмся к исходной переменной:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка |x минус 2|\geqslant минус 1.$

Неравенство определено на $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Рассмотрим три случая. При $x больше 2:$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant минус 1,x больше 2 конец системы . равносильно система выражений x минус 2 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1,x больше 2 конец системы . равносильно$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant минус 1,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x минус 2 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1,x больше 2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 3\geqslant0,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . x больше 2 конец совокупности . равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 3\geqslant0,x больше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . x больше 2 конец совокупности . равносильно$
$равносильно x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

При $0 меньше x меньше 2:$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \geqslant минус 1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений 2 минус x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \geqslant минус 1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 минус x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 1\leqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 1\leqslant0,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби ,0 меньше x меньше 2 конец системы . равносильно$
$равносильно 0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$

При $минус 1 меньше x меньше 0:$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \geqslant минус 1, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 2 минус x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$ $система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \geqslant минус 1, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 минус x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 1\geqslant0, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно минус 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $равносильно система выражений x в квадрате минус x минус 1\geqslant0, минус 1 меньше x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . минус 1 меньше x меньше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно минус 1 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562003

$левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 350

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562003	$левая круглая скобка минус 1; дробь: числитель: 1 минус корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$