PDF-версии: 
На окружности с центром O и диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным 
а) Докажите, что KF : FE = 125 : 29.
б) Найдите площадь треугольника KEN.
Решение. а) Пусть KP — высота треугольника MKN. Из прямоугольных треугольников KOP и KPF находим, что
Отрезок PF длиннее радиуса окружности. Значит, точки F и P лежат по разные стороны от точки O. Тогда
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд получаем, что
откуда находим, что
б) Для нахождения площади треугольника KEN воспользуемся формулой
Имеем
Из треугольника KOP находим, что
Так как
получаем, что
Из треугольника EFN получаем, что
Тогда
Ответ: б) 267,96.
Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.
Найдем площадь треугольника FKN:
Отношение площадей треугольников FKN и FNE равно отношению их оснований, следовательно,
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |