РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 560785 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Для любого натурального числа n (n ≥ 1) обозначим через O(n) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа. Например, O(123)  =  2, а O(2048)  =  0.

а)  Существует ли такое натуральное число n, что O(2 · n)  =  O(n) + 2?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что O(5ⁿ + 2ⁿ − 1) > n?

в)  Для какого наименьшего натурального числа n выполнено неравенство O(11 · n) > 2 · O(n)?

Решение. а)  Да. Например, при n  =  66 имеем

$O левая круглая скобка 2 умножить на n правая круглая скобка =O левая круглая скобка 132 правая круглая скобка =2=O левая круглая скобка 66 правая круглая скобка плюс 2=O левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 2.$

б)  Для любого натурального n имеем $5 в степени n плюс 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 меньше 10 в степени n ,$ так как

$10 в степени n минус 5 в степени n минус 2 в степени n плюс 1= левая круглая скобка 5 в степени n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени n минус 1 правая круглая скобка больше 0.$

Значит, в числе $5 в степени n плюс 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1$ не более n цифр. Следовательно, $O левая круглая скобка 5 в степени n плюс 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно n$ и искомого значения n не существует.

в)  Если 1 ≤ n ≤ 9, то

$O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка =2 умножить на O левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Если 10 ≤ n ≤ 19 и n чётно, то O(n)  =  1, а число 11 · n чётное и трёхзначное. Отсюда получаем, что в этом случае

$2 умножить на O левая круглая скобка n правая круглая скобка =2 больше или равно O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка .$

Если 10 ≤ n ≤ 19 и n нечётно, O(n)  =  2, а число 11 · n трёхзначное и $O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка \leqslant3.$ Отсюда получаем, что в этом случае

$2 умножить на O левая круглая скобка n правая круглая скобка =4 больше O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка .$

Если 20 ≤ n ≤ 27 и n чётно, то все цифры чисел n и 11 · n также чётные. Отсюда получаем, что в этом случае

$2 умножить на O левая круглая скобка n правая круглая скобка =0=O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка .$

Если 20 ≤ n ≤ 27 и n нечётно, то 200 < 11 · n < 300. Отсюда получаем, что в этом случае первая цифра трёхзначного числа 11 · n равна 2 и

При n  =  28 имеем

$O левая круглая скобка 11 умножить на n правая круглая скобка =O левая круглая скобка 308 правая круглая скобка =1 больше 0=2 умножить на O левая круглая скобка 28 правая круглая скобка =2 умножить на O левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Значит, искомое наименьшее значение n равно 28.

Ответ: а) да; б) нет; в) 28.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в	4
Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в	3
Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены	2
Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) 28.

560785

а) да; б) нет; в) 28.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	560785	а) да; б) нет; в) 28.