Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что окруж­ность, впи­сан­ная в пя­ти­уголь­ник, о ко­то­ром го­во­рит­ся в усло­вии за­да­чи,  — это окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник АВС. Пусть впи­сан­ная окруж­ность рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка АВС ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны АВ в точке D и ос­но­ва­ния ВС в точке Е. Тогда АЕ  — вы­со­та, ме­ди­а­на и бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка АВС,

Пусть О  — центр этой окруж­но­сти, r  — её ра­ди­ус, S  — пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, р  — его по­лу­пе­ри­метр. Тогда

Пусть СN₁M₁M₂N₂  — дан­ный пя­ти­уголь­ник, а Р₁ и Р₂  — точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми M₁N₁ и M₂N₂ со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Тогда четырёхуголь­ни­ки P₁M₁DO и M₂P₂OD  — это квад­ра­ты сто­ро­ны ко­то­рых, равны ра­ди­у­су окруж­но­сти r. Из тре­уголь­ни­ка AOD на­хо­дим, что

Тогда по­лу­ча­ем, что

Зна­чит, AM₁ : BM₂  =  1 : 3.

б)  Обо­зна­чим Тогда Из тре­уголь­ни­ка N₂M₂B по­лу­ча­ем, что

зна­чит,

Из тре­уголь­ни­ка АВС на­хо­дим, что Тогда

Из тре­уголь­ни­ка N₁M₁A по­лу­ча­ем, что

Зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)