PDF-версии: 
Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если 
AC = 16.
Решение. а) По теореме о трёх перпендикулярах отрезок DC перпендикулярен отрезку AC. Медиана СМ прямоугольного треугольника DCA равна половине гипотенузы DA. Медиана BМ прямоугольного треугольника ADB также равна половине гипотенузы DA. Значит, треугольник BCM равнобедренный с основанием BС. Поэтому медиана MN треугольника ВСМ является биссектрисой.
б) Пусть MЕ — перпендикуляр, опущенный из точки М на ребро АВ. Тогда MЕ — средняя линия прямоугольного треугольника ABD, значит, 
и отрезок ME параллелен отрезку DB. DB — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, поэтому отрезок ME также является перпендикуляром к этой плоскости.
Точки E и N — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, значит, NE — средняя линия треугольника АВС. Поэтому 
Поскольку отрезок ME параллелен отрезку DB, угол между скрещивающимися прямыми DB и MN равен углу между пересекающимися прямыми МЕ и MN, то есть углу EMN. Из треугольника MNE находим, что
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |