PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1С1 стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC1.
а) Пусть прямые BD и B1C1 пересекаются в точке E. Докажите, что угол EA1B1 — прямой.
б) Найдите угол между плоскостями A1B1С1 и BDA1.
Решение. а) Заметим, что треугольники BDC и EDC1 равны, следовательно, EC1 = B1C1 = A1C1, то есть в треугольнике A1B1E медиана A1C1 равна половине стороны, к которой проведена. Таким образом, треугольник A1B1E — прямоугольный с прямым углом EA1B1.
б) Прямая A1E — линия пересечения плоскостей BDA1 и A1B1C1. Так как A1B1 является проекцией BA1 на плоскость A1B1C1 и A1B1 перпендикулярна EA1, то по теореме о трёх перпендикулярах BA1 перпендикулярна EA1 и угол BA1B1 является линейным углом искомого угла. Тогда
Следовательно, искомый угол равен
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |