Ре­ше­ние. а)  Да. Имеем

Зна­чит, де­ся­тич­ная за­пись этого про­из­ве­де­ния окан­чи­ва­ет­ся на 250.

б)  Нет. Пред­по­ло­жим, что де­ся­тич­ная за­пись про­из­ве­де­ния не­ко­то­рых трёхзнач­ных чисел n, n + 1 и n + 2 окан­чи­ва­ет­ся на 8750. Тогда для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k имеем

По­сколь­ку из чисел n, n + 1 и n + 2 толь­ко одно может де­лить­ся на 5, имен­но это число долж­но де­лить­ся и на 5⁴  =  625. Есть лишь одно такое трёхзнач­ное число  — это 625. Зна­чит, либо n  =  623, либо n  =  624, либо n  =  625. В пер­вых двух слу­ча­ях p де­лит­ся на 4, что про­ти­во­ре­чит ра­вен­ству Если n  =  625, то

Это также про­ти­во­ре­чит ра­вен­ству так как число 313 · 627 даёт оста­ток 3 при де­ле­нии на 8.

в)  Пусть n  — ис­ко­мое число. Тогда де­ся­тич­ная за­пись про­из­ве­де­ния окан­чи­ва­ет­ся на 4000. Это про­ис­хо­дит тогда и толь­ко тогда, когда для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k имеем

По­сколь­ку из чисел n, n + 1 и n + 2 толь­ко одно может де­лить­ся на 5, имен­но это число долж­но де­лить­ся и на 5³  =  125. Зна­чит, либо n  =  125m, либо n  =  125m − 1, либо n  =  125m − 2 для не­ко­то­ро­го числа По­сколь­ку про­из­ве­де­ние p де­лит­ся на 2⁴  =  16, а среди чисел n, n + 1 и n + 2 не более двух чётных и не более од­но­го крат­но­го 4, по­лу­ча­ем, что одно из этих чисел долж­но де­лить­ся на 8. Сле­до­ва­тель­но, число n при де­ле­нии на 8 долж­но да­вать в остат­ке 0, 6 или 7.

Рас­смот­рим слу­чай n  =  125m Нуж­ный оста­ток при де­ле­нии на 8 будет лишь при m  =  3 и m  =  6. При m  =  3 про­из­ве­де­ние p  =  375 · 376 · 377 не де­лит­ся на 16. При m  =  6 имеем

Число 3 · 751 · 94 дей­стви­тель­но даёт при де­ле­нии на 5 оста­ток 2. Зна­чит, число n  =  750  — одно из ис­ко­мых.

Рас­смот­рим слу­чай n  =  125m − 1 Нуж­ный оста­ток при де­ле­нии на 8 будет лишь при m  =  3 и m  =  5. При m  =  3 имеем

Число 187 · 3 · 47 дей­стви­тель­но даёт при де­ле­нии на 5 оста­ток 2. Зна­чит, число n  =  374  — одно из ис­ко­мых. При m  =  5 про­из­ве­де­ние p  =  624 · 625 · 626 де­лит­ся на 625  =  5⁴, про­ти­во­ре­чие.

На­ко­нец, рас­смот­рим слу­чай n  =  125m − 2 Нуж­ный оста­ток при де­ле­нии на 8 будет лишь при m  =  2 и m  =  5. При m  =  2 имеем

Число 31 · 249 не даёт при де­ле­нии на 5 оста­ток 2, про­ти­во­ре­чие. При m  =  5 про­из­ве­де­ние p  =  623 · 624 · 625 де­лит­ся на 625  =  5⁴, про­ти­во­ре­чие.

Сле­до­ва­тель­но, все ис­ко­мые числа n  — это 374 и 750.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  374 и 750.