PDF-версии: 
i
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 
все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах AM и AB — точка F и G соответственно так, что MF = BE = BG = 3.
а) Докажите, что плоскость GEF проходит через точку C.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость GEF пересекает грань CMD пирамиды.
Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке 
Тогда треугольники 
и DCE подобны, поэтому 
а значит, 
и 
Отрезки 
и BG равны, следовательно, точка 
совпадает с точкой G. Таким образом, точка G лежит на прямой EC, а значит, плоскость GEF проходит через точку C.
и 
отрезок FG параллелен отрезку MB. Пусть плоскость GEF пересекает отрезок MD в точке K. Так как прямая FG параллельна MB, по признаку параллельности прямой и плоскости FG параллельна плоскости MBD. Плоскость MBD и секущая плоскость пересекаются по прямой KE, и по свойству параллельных прямой и плоскости прямая KE параллельна FG и, следовательно, параллельна MB. Треугольники DKE и DMB подобны, поэтому 
и 
Плоскость GEF пересекает грань CMD по отрезку CK. Угол CMK равен 60°, поскольку 
