PDF-версии: 
В четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 6, точка M — середина отрезка AS.
а) Докажите, что прямая AS перпендикулярна плоскости BMD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BMD.
Решение. а) Пусть точка O — центр основания, а SO — высота пирамиды. Заметим, что
и, следовательно, SAC — равнобедренный прямоугольный треугольник, а SO — его высота и медиана. Тогда 
и потому треугольник SOA также прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, его медиана OM является также и высотой. Таким образом, прямые OM и SA взаимно перпендикулярны. Кроме того, диагональ BD перпендикулярна AC и прямой SO, следовательно, диагональ BD перпендикулярна грани SAC и прямой SA. Значит, прямая AS перпендикулярна плоскости BMD.
б) Из п. а) прямые OM и BD взаимно перпендикулярны, 
Тогда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |