РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 558620 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 338

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы, Рационализация неравенств. Степени, Сведение к однородному

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $дробь: числитель: 9 в степени x минус 5 умножить на 12 в степени x плюс 4 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$

Решение. Поделим обе части неравенства на $16 в степени x ,$ разложим полученный таким образом числитель на множители:

$дробь: числитель: 9 в степени x минус 5 умножить на 12 в степени x плюс 4 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$ $дробь: числитель: 9 в степени x минус 5 умножить на 12 в степени x плюс 4 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$ $дробь: числитель: 9 в степени x минус 5 умножить на 12 в степени x плюс 4 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 5 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 4, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$

Применим метод рационализации и метод интервалов. На ОДЗ знак выражения $a в степени x минус a в степени y$ совпадает со знаком выражения $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка ,$ а знак $логарифм по основанию a b$ совпадает со знаком $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка .$ Заметив, что $4 = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ а $1 = левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 0 ,$ получаем:

$система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 11x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0, левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 меньше или равно x \leqslant0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка x, знаменатель: левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x в квадрате минус 11x плюс 4 минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,6x в квадрате минус 11x плюс 4 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0, левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4 меньше или равно x \leqslant0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4;0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

558620

$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4;0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 338

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	558620	$левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка 4;0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$