Ре­ше­ние. За­ме­тим, что за­дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность  — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 1, 3, 5, ..., со­сто­я­щая из не­чет­ных чисел. Из фор­му­лы для суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет, что сумма k её пер­вых чле­нов равна k²: Это поз­во­ля­ет утвер­ди­тель­но от­ве­тить на во­прос в пунк­та в) и пунк­та б), по­сколь­ку 289 это квад­рат 17.

Далее, по­это­му в пунк­те а) тоже ответ да.

На­ко­нец, при­бав­ляя к каж­до­му из k чисел 1, 3, ..., чет­ное число мы уве­ли­чи­ва­ем сумму на и она ста­но­вит­ся   — точ­но­му кубу.

Таким об­ра­зом, ответ на все во­про­сы  — да. До­пол­ни­тель­но от­ме­тим, что в силу при­ведённых по­стро­е­ний сумма таких сла­га­е­мых может быть равна квад­ра­ту или кубу лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа, кроме 1.