РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 558015 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 337

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Использование симметрий

Найдите все значения а, при которых уравнение

$a в квадрате плюс левая круглая скобка x минус 2021 правая круглая скобка в квадрате =|a минус x плюс 2021| минус |a плюс x минус 2021|$

имеет ровно два решения.

Решение. Пусть $x минус 2021=t,$ тогда каждому значению переменной x соответствует ровно одно значение переменной t, а исходное уравнение и уравнение

$a в квадрате плюс t в квадрате =|a минус t| минус |a плюс t|$

имеют одинаковое количество корней.

Преобразуем уравнение, раскрыв модули:

$равносильно совокупность выражений система выражений a плюс t\geqslant0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=t минус a, конец системы . конец совокупности . система выражений a плюс t меньше 0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=t минус a конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс 2t плюс 1=1,a в квадрате плюс 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений a в квадрате минус 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1,a в квадрате плюс t в квадрате минус 2t плюс 1=1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1,t в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =1, левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1. конец системы . конец совокупности . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений система выражений a плюс t\geqslant0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=t минус a, конец системы . конец совокупности . система выражений a плюс t меньше 0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=t минус a конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс 2t плюс 1=1,a в квадрате плюс 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений a в квадрате минус 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1,a в квадрате плюс t в квадрате минус 2t плюс 1=1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1,t в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =1, левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1. конец системы . конец совокупности . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений система выражений a плюс t\geqslant0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате плюс a плюс t=t минус a, конец системы . конец совокупности . система выражений a плюс t меньше 0, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=a минус t,a в квадрате плюс t в квадрате минус a минус t=t минус a конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений a в квадрате плюс t в квадрате плюс 2t плюс 1=1,a в квадрате плюс 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений a в квадрате минус 2a плюс 1 плюс t в квадрате =1,a в квадрате плюс t в квадрате минус 2t плюс 1=1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений a\geqslant минус t, совокупность выражений левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1,t в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1, конец системы . конец совокупности . система выражений a меньше минус t, совокупность выражений t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =1, левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате =1. конец системы . конец совокупности . конец совокупности .$

Графиком этой совокупности в системе координат tOa будут дуги окружностей с радиусами 1 и центрами в точках $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$ Изобразим их на чертеже.

Из построенного чертежа находим, что при $|a| больше 1$ полученная совокупность, а значит, и исходное уравнение решений не имеют, при $0 меньше |a| меньше 1$   — имеют два решения, при $|a|=1$ и $a=0$   — имеют одно решение.

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

558015

$левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 337

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Уравнения смешанного типа

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	558015	$левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$