РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Конечная последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geqslant3$ необязательно различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k минус 1.$

а)  Приведите пример такой последовательности при n  =  5, в которой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза?

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?

Решение. а)  Например, подходит последовательность 2, 4, 5, 5, 4.

б)  При всех натуральных $k меньше или равно n минус 1$ положим $b_k=a_k плюс 1 минус a_k.$ Тогда равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k минус 1$ равносильно равенству $b_k плюс 1=b_k минус 1.$ Следовательно, последовательность b_k при $1 меньше или равно k меньше или равно n минус 1$ образует арифметическую прогрессию с разностью −1.

Предположим, что некоторое натуральное число встретилось в последовательности a_k три раза. Значит, для некоторых индексов $p меньше q меньше r$ выполнены равенства $a_p=a_q=a_r.$ Поэтому выполнены равенства

$0=a_q минус a_p=b_p плюс b_p плюс 1 плюс ... плюс b_q минус 1= левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка b_p минус дробь: числитель: левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q минус p минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$

и, следовательно, равенство $b_p= дробь: числитель: q минус p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично получаем $b_p= дробь: числитель: r минус p минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Приходим к противоречию, так как $q меньше r.$

в)  Как доказано в решении пункта б, последовательность $b_k=a_k плюс 1 минус a_k$ при $1 меньше или равно k меньше или равно n минус 1$ образует арифметическую прогрессию с разностью −1. Предположим, что $n\geqslant27$ и все числа a_k двузначные. Тогда либо $b_1\geqslant13,$ либо $b_1\leqslant12.$

Если $b_1\geqslant13,$ то при $1 меньше или равно k меньше или равно 13$ имеем $b_k\geqslant14 минус k$ и

$89=99 минус 10 больше или равно a_14 минус a_1=b_1 плюс b_2 плюс ... плюс b_13\geqslant13 плюс 12 плюс ... плюс 1=91.$

Если $b_1\leqslant12,$ то при $14 меньше или равно k меньше или равно 26$ имеем $b_k\leqslant13 минус k$ (поскольку $b_26=b_1 минус 25\leqslant минус 13$ ) и

$89=99 минус 10 больше или равно a_14 минус a_27= минус b_14 минус b_15 минус ... минус b_26\geqslant1 плюс 2 плюс ... плюс 13=91.$ $89=99 минус 10 больше или равно a_14 минус a_27=$
$= минус b_14 минус b_15 минус ... минус b_26\geqslant1 плюс 2 плюс ... плюс 13=91.$

Полученное противоречие показывает, что $n\leqslant26.$

Пример последовательности $a_k=10 плюс 13 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$ при $1 меньше или равно k меньше или равно 26$ показывает, что n может равняться 26. Действительно, тогда последовательность $b_k=a_k плюс 1 минус a_k=13 минус k$ при $1 меньше или равно k\leqslant25$ образует арифметическую прогрессию с разностью −1. Значит, при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнены равенства $b_k плюс 1=b_k минус 1$ и $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k минус 1.$ Кроме того, при $1 меньше или равно k\leqslant26$ выполнены неравенства $10=a_1 меньше или равно a_k меньше или равно a_13=88,$ и, следовательно, все члены последовательности a_k являются двузначными числами.

Ответ: а)  например, подходит последовательность 2, 4, 5, 5, 4; б)  нет; в)  при $n=26.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение пункта а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  оценка в пункте в; ―  пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	556702	а)  например, подходит последовательность 2, 4, 5, 5, 4; б)  нет; в)  при $n=26.$

Ключ