PDF-версии: 
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 3AN. Точка B лежит на стороне KN и KB : BN = 2 : 1.
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM.
Решение. а) Поскольку
то 
и прямоугольные треугольники BMN и NKA подобны по двум пропорциональным катетам. Значит, 
Следовательно, прямая BM параллельна прямой AN.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны, равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому 
и 
Из точек A и O отрезок KN виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром KN. Вписанные в эту окружность углы KAO и NAO опираются на равные хорды, поэтому AO — биссектриса угла KAN.
Пусть отрезок AP пересекает сторону KN в точке Q. Тогда AQ — биссектриса треугольника KAN. По свойству биссектрисы
Треугольник LOP равен треугольнику NOQ по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, 
Тогда 
Следовательно,
Ответ: б) 1 : 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |