Тип 19 № 556620 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
а) Приведите пример десяти таких различных двузначных чисел, среди которых ровно 5 делятся на 2, ровно 5 делятся на 3, ровно 5 делятся на 5 и ровно 3 делятся на 6.
б) Существуют ли такие десять различных двузначных чисел, среди которых ровно 7 делятся на 3, ровно 7 делятся на 5, ровно 7 делятся на 7?
в) Про десять различных двузначных чисел известно, что наибольший общий делитель любых двух из них равен 1, 2, 3, 5 или 7. Какое наибольшее количество из этих десяти чисел может делиться на 7?
Решение. а) Подходящим примером являются числа 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65.
б) Если среди десяти различных двузначных чисел ровно 7 делятся на 3 и ровно 7 делятся на 5, то среди них не менее четырёх, которые делятся на 
Если, кроме того, среди этих десяти чисел есть ровно 7, которые делятся на 7, то среди них найдётся хотя бы одно число, которое делится на 
Но такого двузначного числа не существует. Пришли к противоречию.
в) Двузначные числа, делящиеся на 7, можно представить в виде 7pi, где pi — натуральное число от 2 (поскольку 7 · 2 = 14) до 14 (поскольку 7 · 14 = 98). Для любой пары таких чисел pi должны быть взаимно простыми, поскольку иначе наибольший общий делитель таких чисел будет больше 7. Среди чисел от 2 до 14 можно выбрать только 6 чисел, таких, что любые два из них будут взаимно простыми, это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13. Таким образом, при заданных условиях чисел, делящихся на 7, не может быть больше шести. Покажем, что их может быть ровно шесть. Это, например, следующий набор из десяти чисел: 14, 21, 35, 49, 77, 91, 17, 19, 23, 41. В этом наборе наибольший общий делитель для первых шести чисел равен 7, а наибольший общий делитель любого из последних чисел с любым другим числом набора равен 1.
Ответ: а) например, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65; б) нет; в) 6.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение пункта а; ― обоснованное решение пункта б; ― оценка в пункте в; ― пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) например, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65; б) нет; в) 6.
556620
а) например, 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65; б) нет; в) 6.
PDF-версии: