РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Вася записал на листе бумаги некоторую последовательность из n чисел (n > 3), а затем продолжил её, повторив все числа ещё раз в том же порядке. Затем Вася предложил Маше сыграть в игру по следующим правилам. За один ход Маша может спросить у Васи сумму любых трёх подряд идущих чисел. Маша выигрывает, если через несколько ходов узнает все числа.

а)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  5?

б)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  9?

в)  За какое наименьшее число ходов Маша может гарантированно выиграть, если n  =  22?

Решение. Обозначим числа, записанные Васей, через $x_1,x_2,...,x_n,x_1,x_2,...,x_n.$

а)  Может. Маша должна сначала узнать суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_2 плюс x_3 плюс x_4,$ $x_3 плюс x_4 плюс x_5,$ $x_4 плюс x_5 плюс x_1,$ $x_5 плюс x_1 плюс x_2.$ Сложив эти пять сумм, Маша получит число $3 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 плюс x_5 правая круглая скобка ,$ при делении которого на 3 получается сумма $x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 плюс x_5.$ Вычитая из суммы $x_1 плюс ... плюс x_5$ сумму $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ Маша узнает $x_4 плюс x_5.$ Теперь Маша может узнать $x_1,$ вычитая из $x_4 плюс x_5 плюс x_1$ сумму $x_4 плюс x_5.$ Аналогично получаются другие числа.

б)  Не может. Например, Вася может взять в качестве исходной последовательности 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 или 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, и Маша не сможет различить эти два случая  — суммы любых трёх подряд идущих чисел в каждом из этих случаев равны 6.

в)  Докажем, что Маша может выиграть за 22 хода, узнав значения всех возможных сумм троек подряд идущих чисел. Сложив суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_2 плюс x_3 плюс x_4,...,$ $x_21 плюс x_22 плюс x_1,$ $x_22 плюс x_1 плюс x_2,$ Маша получит $3 левая круглая скобка x_1 плюс ... плюс x_22 правая круглая скобка .$ Складывая суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_4 плюс x_5 плюс x_6,...,$ $x_19 плюс x_20 плюс x_21,$ Маша узнает сумму всех чисел, кроме $x_22.$ Вычитая из суммы $x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_22$ сумму $x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_21,$ Маша узнает, чему равно $x_22.$ Таким же способом Маша может узнать все прочие числа.

Теперь докажем, что Маша не может выиграть за меньшее число ходов. Для этого достаточно привести пример двух различных последовательностей $x_1,x_2,...,x_22,x_1,x_2,...,x_22$ и $y_1,y_2,...,y_22,y_1,y_2,...,y_22,$ в которых суммы всех последовательных троек чисел равны, кроме одной. Для определённости можно считать, что $x_22 плюс x_1 плюс x_2 не равно y_22 плюс y_1 плюс y_2.$

В качестве $x_1,x_2,...,x_22$ и $y_1,y_2,...,y_22$ можно взять $x_i=0 левая круглая скобка i=1,...,22 правая круглая скобка$ и $\underbrace минус 1, минус 1,2,..., минус 1, минус 1,2,_ минус 1, минус 1,2повторяется 7 раз минус 1.$

В первой последовательности все суммы нулевые, тогда как во второй $y_22 плюс y_1 плюс y_2= минус 3.$

Ответ: а)  может; б)  не может; в)  22.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение пункта а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  оценка в пункте в; ―  пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	556342	а)  может; б)  не может; в)  22.

Ключ