РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В каждой из девяти ячеек строки слева направо в некотором (возможно, ином) порядке расставлены по одному 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

а)  Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, и ровно одно, делящееся на 4?

б)  Могло ли оказаться так, что среди любых четырёх подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно, делящееся на 3, а среди любых двух подряд (идущих слева направо) из этих чисел есть ровно одно простое число?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки?

Решение. а)  Да, например, если числа написаны так: 3, 1, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 9.

б)  Предположим, что это возможно. Тогда между любыми двумя ближайшими из делящихся на 3 чисел 3, 6 и 9 должны стоять ровно три других числа. Значит, число 3 стоит на первом, пятом или девятом месте. Также среди этих чисел ровно 4 простых: 2, 3, 5 и 7. Простые и составные числа должны чередоваться. Следовательно, число 3 стоит на втором, четвёртом, шестом или восьмом месте. Пришли к противоречию. Значит, числа не могли быть расставлены указанным образом.

в)  Обозначим через n сумму всех чисел, стоящих на нечётных местах. Поскольку сумма всех чисел строки равна 45, произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно

$n умножить на левая круглая скобка 45 минус n правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 45n минус n в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате .$

При всех натуральных n это произведение не превосходит

$левая круглая скобка дробь: числитель: 45, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =22 умножить на 23=506.$

Пусть числа расставлены так: 2, 1, 3, 6, 4, 7, 5, 8 и 9. Тогда $n=2 плюс 3 плюс 4 плюс 5 плюс 9=23$ и $n умножить на левая круглая скобка 45 минус n правая круглая скобка =506.$

Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать произведение суммы всех чисел, стоящих на нечётных местах, и суммы всех чисел, стоящих на чётных местах этой строки, равно 506.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  506.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение пункта а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  оценка в пункте в; ―  пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	555721	а)  да; б)  нет; в)  506.

Ключ