Ре­ше­ние. Пусть в пер­вом на­бо­ре k сол­да­ти­ков, во вто­ром l сол­да­ти­ков. Тогда числа k и l имеют общий де­ли­тель, боль­ший 8, и при этом

а)  На­при­мер, 54 и 63 сол­да­ти­ка. Вме­сте сол­да­ти­ков 117, их можно по­стро­ить в ко­лон­ну по 9 сол­да­ти­ков в ряд так, что 6 рядов будет за­пол­не­но сол­да­ти­ка­ми толь­ко из пер­во­го на­бо­ра, а 7 рядов  — толь­ко из вто­ро­го.

б)  Пред­по­ло­жим, что общий де­ли­тель равен 11. Тогда, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем, что Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние l равно но вме­сте по­лу­ча­ет­ся 121 сол­да­тик, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

в)  Число боль­ше нуля и де­лит­ся на общий де­ли­тель чисел k и l, по­это­му что вме­сте с усло­ви­ем при­во­дит к не­ра­вен­ству то есть При этом

где d  — наи­мень­ший общий де­ли­тель, пре­вос­хо­дя­щий 7.

Если то а в на­бо­рах всего 119 сол­да­ти­ков.

Если то Тогда общий де­ли­тель равен 13 и

Если то Про­ти­во­ре­чие.

Если то Тогда общий де­ли­тель равен 9 и в на­бо­рах всего 117 сол­да­ти­ков.

Если то но числа 64 и 55 вза­им­но про­сты. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а) На­при­мер, 54 и 63; б) нет; в) 117 или 119.