PDF-версии: 
Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите угол 
если DM = 4 и MC = 9.
Решение. а) Обозначим 
Треугольники CMP и DMA подобны с коэффициентом подобия 
поэтому
Тогда
Следовательно, 
б) Пусть O — центр окружности радиуса r, вписанной в ромб. Тогда OM — высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
Значит, высота ромба равна 
Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую 
Тогда AH — высота ромба, поэтому
Из подобия треугольников CMP и DMA находим, что
Значит,
Из прямоугольного треугольника AHP находим, что
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |